概念地图
混合策略
在自己的策略上取概率分布；存在性定理在这里成立。
深色为本章概念，浅色为其他章
陪练模式
不想只是读？让它带你走一遍。
导师把这一章拆成小步，每一步先问你，再讲；你用自己的话答，它先认下对的部分再纠偏。用你自己的 AI，对话只存在这台设备上。
定位01
延伸阅读
冯·诺依曼与摩根斯特恩 · 1944 年 · 期望效用的公理化
给出一组关于抽奖偏好的公理，满足它们的偏好可写成对结果效用的概率加权平均。他们反对的是把基数效用当作心理量直接引入；代价是从此「效用」有了尺度，而这个尺度完全由那组公理支撑，其中独立性一条后来被反复攻击。
奠基
纳什 · 1950 年前后 · 混合策略上的存在性
把策略集扩成概率分布，用不动点定理得到均衡必存在。这一步换来了普遍存在性，代价是要用上面那组公理——没有期望效用，混合策略的收益无从定义。
转向
哈萨尼 · 上世纪七十年代 · 混合策略的纯化解释
把混合均衡解释成一族带微小私有扰动的完全信息博弈的极限，其中每个人其实在用纯策略。这是对「人真的会掷骰子吗」这一质疑最实质的回应，代价是它要求扰动结构本身可信。
修正
博纳诺 · 开放教材关于期望效用与混合策略的章节
本课对象。教材把公理与定理分得很清楚，本章要单独处理的是：混合策略的概率究竟代表什么，这一步在教材里通常一笔带过。
本课对象
机制02
序换成尺度的代价
第 1 章说过效用只是排序，任何保序变换给出同一套偏好。一旦要谈「一半概率得 A、一半得 B」，排序就不够了：必须能比较两个抽奖。冯·诺依曼与摩根斯特恩给出的期望效用表示正是为此。它把序数效用换成了一个有尺度的量，而这个尺度是那组公理买来的，不是免费的。
机制对抽奖的偏好公理通过赋予效用一个尺度使概率加权成为有定义的运算。
可迁移性测试
换到温度：日常只说「今天比昨天热」是序，要说「今天比昨天热两倍」就必须先选定一个尺度，而选摄氏还是开尔文会给出不同的倍数。不同构的地方在于温度的尺度由物理约定，效用的尺度由偏好公理，后者可以被行为直接违反。
机制03
混合的三种读法
均衡里出现的混合策略到底代表什么，至少有三种互不相同的读法：一是当事人真的按概率随机；二是这个概率代表对手对他的信念；三是哈萨尼的纯化——人群里每个人用纯策略，概率是人群比例或私有扰动的分布。三种读法给出同一组数字，却对应完全不同的建模承诺，因此可被完全不同的观测推翻。
机制同一组均衡概率通过被赋予不同解释对应到完全不同的可观测量。
可迁移性测试
换到抽检：一个「百分之十抽检率」可以是每次真掷骰子、可以是被检方对检查概率的估计、也可以是十个检查员里有一个在查。三种机制在账面上都是一成，防作弊效果却完全不同。不同构的地方在于抽检可以直接查执行记录，而混合均衡的概率通常不可直接观测。
推导04
从公理到「均衡处各纯策略收益相等」
这一段要证的是混合均衡的那条判定条件，并说清它靠的是哪几条前提。
偏好满足期望效用公理（完备、传递、连续、独立）
定理前提。独立性一条被阿莱悖论一类的选择系统性违反，去掉它整套加权平均写法就不成立。
策略集有限，允许在其上取任意概率分布
定理前提。去掉允许混合，剪刀石头布上均衡不存在。
均衡定义为混合策略上的相互最优反应
定理前提，也就是定义本身。
推导 · 0 / 4
推导实例05
混合概率由对手的收益决定
在一个二人零和博弈里，我的均衡混合概率为什么由对手的收益数字决定，而不是由我自己的？
用「让对方各纯策略收益相等」这条判定条件反过来解。
裂缝06
本章命题的边界
争议地形07
本书主张
混合策略是策略集的自然扩张，它换来了均衡的普遍存在性，判定条件清楚可算。
另一种看法
纯化一线主张：人不掷骰子；观测到的混合应当理解为一族带微小私有信息的博弈中每个人各用纯策略的极限。据此，混合均衡的概率是人群或类型的分布，而不是任何个体的随机装置。
分歧扎在
分歧扎在「概率代表谁的什么」这一条建模承诺上，而不在数学上。两边算出的数字完全相同，争的是它对应到现实中的哪个量。
什么证据能裁决
能裁决它的是个体层面的序列：记录同一被试在重复对局中的选择序列，做随机性检验。若个体序列通不过随机性检验而人群频率接近均衡概率，纯化解释成立；若个体序列本身接近独立同分布，随机装置解释成立。
目前的证据把天平压向纯化一侧：个体序列常带明显的自相关与模式，而人群频率更接近均衡值。还差的是把「有意的模式」与「无法真正随机」分开的手段——人本来就很难产生随机序列，这两者的行为后果重合。
边界与反例08
把「混合概率代表个体随机」的建模承诺写成可检验的规格
要检验的建模承诺是：均衡混合概率代表当事人自己按该概率随机化。
去掉哪条假设：个体在每一局独立地按同一分布抽取动作
这是「当事人随机」这一读法的全部内容；换成人群比例读法，这条就不需要。
该情形下的具体反例：同一被试的选择序列出现显著自相关（如很少连出同一动作）
独立抽取不会系统性回避重复。
这条承诺对应的可观测量：个体选择序列的自相关与游程统计
必须是个体序列，人群频率无法分辨三种读法。
什么观测算它不成立：自相关或游程统计偏离独立同分布的事前登记区间
区间按序列长度事前算好。
事前登记的失败条件：个体序列通不过随机性检验，或不同被试的边际频率差异远大于抽样波动
第二种指向人群比例读法。
推导 · 0 / 3
接口09
挂在哪个槽位
挂在哪个槽位你已有的那条结论多半是「要让对手猜不到，就随机行动」——一条关于不可预测性的判断。本章要动的是它的参数从哪来。
本章对你已有的结构做的是 (a) 替换「随机行动」这条结论，还是 (b) 约束它：随机的比例由对手的收益决定，不由自己的？
慢变量登记两个慢变量：你手上有几处随机化的比例是按对手收益算出来的，以及有几处只是凭感觉定的。三天后先看第二个。
小结10
本章小结
01谈概率就必须把序数效用换成有尺度的期望效用，尺度由公理买来。
02「混合均衡处各被使用的纯策略收益相等」是线性函数取极值的算术性质。
03均衡混合概率由对手的收益决定，不由自己的。
04混合有三种读法：个体随机、对手信念、人群比例，它们预测不同的可观测量。
05不指定读法就使用混合均衡，这块结论不承担任何观测风险。
提取练习 · 合上书，先自己答一遍。
?「被赋予正概率的纯策略收益必须相等」是 (a) 由线性代数得到的 还是 (b) 关于现实的建模承诺？
?个体选择序列有明显模式而人群频率接近均衡值，支持的是 (a) 个体随机读法 还是 (b) 人群比例读法？
受迫二选一11
B 标签辨识
「混合策略的最优值必在某个纯策略上取到」这一步是什么？
二选一
受迫二选一12
D 接口判断
哪一条能挂进你已有的结构？
二选一
读到这里，把它记为已读。