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组合数学
本课不按公式清单走。它把组合计数当作一条论证来拆:所有计数方法都出自「建立一个双射」这一件事,其余都是它的变形;每一步是定理前提、由定义得到的,还是一条断言「这个计数模型代表现实中某物」的建模承诺;以及每个公式在什么条件下会给出自信而错误的答案。最后一章审计前六章。
结构交底
本课交付的结构
这条结构搬得到测试用例枚举、日程排班、抽样设计与概率建模;搬不动的是对象之间的「相同」本身没有定义清楚的场合。
核心承诺
01先定等价 在数之前必须先说清什么算同一个对象;换一个「相同」的定义就是换一个问题。
02双射即计数 两个集合之间有一一对应,它们就同样多;所有计数技巧都是构造这种对应。
03重复要还回去 任何把一个对象数了多次的方案,必须给出它被数了几次,且这个次数要对每个对象相同。
概念地图
两种数法
同一个集合用两种方式数,得到一个恒等式。
第 3 章
章节
0 / 7 章已读
01
计数的唯一动作:定等价与造双射
两条原理其实是同一件事的两种写法。
+ 计划20 分钟
02
有序与无序:重复怎么被还回去
排列与组合的差别只在除以了什么。
+ 计划20 分钟
03
两种数法:恒等式的组合证明
代数化简与组合证明给出同一个式子,含义不同。
+ 计划22 分钟
04
重叠:容斥原理与它的代价
为什么交替加减恰好把重复抵消干净。
+ 计划22 分钟
05
化归规模:递推与生成函数
把「按什么分类」变成一个可以自动化的操作。
+ 计划22 分钟
06
从计数到结构:图与握手引理
同一条「两种数法」在结构问题上的样子。
+ 计划20 分钟
07
反向审计:前六章的建模承诺检查
审计对象是第 1–6 章,包括结论对但理由错的地方。
+ 计划20 分钟
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